线性空间
线性空间的定义与实例
从本节开始，我们将解析几何、向量空间、矩阵空间的一些共同性质作一个进一步的抽象，得到线性空间的概念。所谓线性空间，就是在一个集合上，定义了线性运算，从而形成线性空间。所谓线性运算，就是两类：加法和数域KKK上的数乘。回顾解析几何、向量空间、矩阵空间的相关知识，在这些空间上，都定义了加法和数乘，并且加法和数乘都有类似的性质，即以下八条： A.加法交换律：a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a B.加法结合律：a+b+c=a+(b+c)a+b+c=a+(b+c)a+b+c=a+(b+c) C.存在零元：0+a=a0+a=a0+a=a D.存在相反元：a+(−a)=0a+(-a)=0a+(−a)=0 E.数乘结合律：(kl)a=k(la)(kl)a=k(la)(kl)a=k(la) F.1.a=a1.a =a1.a=a G.数乘分配律1：(k+l)a=ka+la(k+l)a=ka+la(k+l)a=ka+la H.数乘分配律2：k(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kb 两个运算，加上以上八条运算性质，就形成了抽象的"线性空间"：
定义4.1 VVV是一集合，KKK是一数域，如果在VVV上定义了一个二元运算"+++"，满足： A.加法交换律：∀a,b∈V,a+b=b+a\forall a,b\in V,a+b=b+a∀a,b∈V,a+b=b+a B.加法结合律：∀a,b,c∈V,a+b+c=a+(b+c)\forall a,b,c \in V, a+b+c=a+(b+c)∀a,b,c∈V,a+b+c=a+(b+c) C.存在零元：∃0∈V,∀a∈V,0+a=a\exists 0 \in V,\forall a\in V,0+a=a∃0∈V,∀a∈V,0+a=a D.存在相反元：∀a∈V,∃−a∈V,a+(−a)=0\forall a \in V,\exists -a \in V, a+(-a)=0∀a∈V,∃−a∈V,a+(−a)=0 又定义了VVV和KKK的运算...，满足： E.数乘结合律：∀k,l∈K,∀a∈V,(kl)a=k(la)\forall k,l \in K,\forall a \in V,(kl)a=k(la)∀k,l∈K,∀a∈V,(kl)a=k(la) F.∀a∈V,1.a=a\forall a \in V,1.a =a∀a∈V,1.a=a G.数乘分配律1：∀k,l∈K,∀a∈V,(k+l)a=ka+la\forall k,l \in K,\forall a \in V,(k+l)a=ka+la∀k,l∈K,∀a∈V,(k+l)a=ka+la H.数乘分配律2：∀k∈K,∀a,b∈V,k(a+b)=ka+kb\forall k \in K,\forall a,b \in V,k(a+b)=ka+kb∀k∈K,∀a,b∈V,k(a+b)=ka+kb 则称VVV是数域KKK上的线性空间
解析几何中的平面向量空间、空间向量空间、KKK上的nnn维向量空间，Mm,n(K)M_{m,n}(K)Mm,n(K)都是线性空间的典型代表。不仅如此，即便看起来与代数毫无关系的数学分析，也有大量线性空间的例子。例如：
例4.1 C[a,b]C[a,b]C[a,b]是[a,b][a,b][a,b]上全体连续函数构成的空间，C[a,b]C[a,b]C[a,b]是RRR上的线性空间
可见，线性空间存在于世界各个角落，或者可以这么说：只要在一个集合中定义了加法和数乘运算，并且满足八条运算性质，这个集合就是一个"抽象化"的向量空间，集合中的元素，不过是"抽象化"后的点罢了。线性空间，从几何上去理解，就是"抽象化"的向量空间。以连续函数空间为例，从线性空间的角度上看，闭区间上的连续函数，不过是连续函数空间上一个个向量罢了，连续函数空间，不过是抽象的解析几何空间罢了。线性泛函分析，就是以这里为出发点的。认识到这点，对于理解后面许多定理和命题都很有帮助。 命题4.1 VVV是数域KKK上的线性空间，则 (1)零元是唯一的 (2)∀a∈V\forall a \in V∀a∈V，相反元−a-a−a是唯一的 (3)∀a∈V,0.a=0\forall a \in V,0.a=0∀a∈V,0.a=0 (4)∀a∈V,(−1).a=−a\forall a \in V,(-1).a=-a∀a∈V,(−1).a=−a
证： (1)假设a,ba,ba,b都满足：对任意的c∈Vc\in Vc∈V，都有 a+c=ca+c=ca+c=cb+c=cb+c=cb+c=c那么 a+b=b=b+a=aa+b=b=b+a=aa+b=b=b+a=a由于零元唯一，我们记零元为000\ (2)∀a∈V\forall a \in V∀a∈V，若b,cb,cb,c都满足： a+b=0a+b=0a+b=0a+c=0a+c=0a+c=0则 a+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=ba+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=ba+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=b从而相反元唯一，相反元记为−a-a−a\ (3)a+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=aa+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=aa+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=a (4)(−1).a+a=(−1).a+1.a=(1+−1)a=0.a=0(-1).a+a=(-1).a+1.a=(1+-1)a=0.a=0(−1).a+a=(−1).a+1.a=(1+−1)a=0.a=0
线性空间的结构
接下来，类似于向量空间，我们也可以给出线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组等概念。
定义4.2 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一个向量组，k1,⋯ ,knk_1,\cdots,k_nk1,⋯,kn是KKK上的nnn个数，称 k1x1+⋯+knxnk_1x_1+\cdots+k_nx_nk1x1+⋯+knxn是x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn的一个线性组合，y∈Vy\in Vy∈V，存在k1,⋯ ,kn∈Kk_1,\cdots,k_n\in Kk1,⋯,kn∈K，使得 y=k1x1+⋯+knxny=k_1x_1+\cdots+k_nx_ny=k1x1+⋯+knxn则称yyy能被x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性表示
定义4.3 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一个向量组，如果存在不全为000的KKK的一组数k1,⋯ ,knk_1,\cdots,k_nk